Введение в анализ

Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 408 с.

Книга является первым выпуском учебного комплекса «Математика в техническом университете», состоящего из двадцати выпусков. Знакомит читателя с понятиями функции, предела, непрерывности, которые являются основополагающими в математическом анализе и необходимыми на начальном этапе подготовки студента технического университета.

Отражена тесная связь классического математического анализа с разделами современной математики (прежде всего, с теорией множеств и непрерывных отображений в метрических пространствах).

Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.


Содержание

К читателю
Предисловие
Краткий исторический очерк
 
1. Элементы теории множеств
1.1. Множества
1.2. Подмножества
1.3. Множество действительных чисел. Числовая прямая
1.4. Операции над множествами
1.5. Некоторые основные логические символы
1.6. Круги Эйлера
Вопросы и задачи
 
2. Отображение множеств. Функции
2.1. Понятия отображения и функции
2.2. Сюръекция, инъекция и биекция
2.3. Обратное отображение
2.4. Композиция отображений
2.5. Произведение множеств. График отображения
2.6. Упорядоченные множества. Элементы комбинаторики
2.7. Ограниченные множества
Д.2.1. Мощность множества
Д.2.2. Неподвижная точка отображения
Вопросы и задачи
 
3. Действительные функции действительного переменного
3.1. Функция и ее график
3.2. Основные способы задания функции
3.3. Сложная и взаимно обратные функции
3.4. Некоторые свойства функций
3.5. Основные элементарные функции
3.6. Некоторые элементарные функции
Вопросы и задачи
 
4. Основные законы композиции и алгебраические структуры
4.1. Законы композиции
4.2. Основные алгебраические структуры
4.3. Поле комплексных чисел
4.4. Кольцо многочленов
4.5. Группа подстановок
Вопросы и задачи
 
5. Непрерывные отображения метрических пространств
5.1. Понятие метрического пространства
5.2. Окрестности в метрическом пространстве
5.3. Характерные точки множеств
5.4. Замкнутые множества
5.5. Компактные множества
5.6. Определение непрерывного отображения
5.7. Свойства непрерывного отображения множеств
5.8. Линейно связные множества
5.9. Равномерная непрерывность
Вопросы и задачи
 
6. Числовые последовательности
6.1. Переменные величины
6.2. Понятие числовой последовательности
6.3. Предел последовательности
6.4. Свойства сходящихся последовательностей
6.5. Признаки существования предела последовательности
6.6. Число e
6.7. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Д.6.1. Предельные точки последовательности
Д.6.2. Доказательство признака Вейерштрасса и критерия Коши
Вопросы и задачи
 
7. Предел функции в точке
7.1. Определение предела функции
7.2. Односторонние пределы
7.3. Признаки существования предела
7.4. Свойства функций, имеющих конечный предел
7.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
7.6. Предел сложной функции
7.7. Два замечательных предела
7.8. Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции
Вопросы и задачи
 
8. Теория пределов
8.1. Понятие предела отображения
8.2. Некоторые свойства предела отображения
8.3. Пределы действительных функций
8.4. Признаки существования предела действительной функции
Д.8.1. Полное метрическое пространство
Д.8.2. Принцип сжимающих отображений
Вопросы и задачи
 
9. Непрерывные функции
9.1. Непрерывность функции в точке
9.2. Свойства функций, непрерывных в точке
9.3. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва
9.4. Свойства функций, непрерывных в промежутке
9.5. Непрерывность основных элементарных функций
9.6. О вычислении нуля функции, непрерывной на отрезке
Д.9.1. Непрерывность и разрывы монотонной функции
Д.9.2. Доказательство теорем о функциях, непрерывных в промежутке
Вопросы и задачи
 
10. Асимптотическое поведение
10.1. Сравнение бесконечно малых функций
10.2. Эквивалентные бесконечно малые функции
10.3. Главная часть бесконечно малой функции
10.4. Сравнение бесконечно больших функций
10.5. Наклонная асимптота графика функции
10.6. Общие рекомендации по вычислению пределов
Д.10.1. Асимптотические многочлены
Д.10.2. Об использовании символов O и o
Вопросы и задачи
 
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель